SAP 6&7 Matematika Sistem Informasi 1 : Menjelaskan Argumen, Implikasi Logik, Fungsi Komposisi dan Himpunan Kebenaran, Pengukur Jumlah Universal dan Eksistensial, Poset dan Diagram Poset

ARGUMEN

Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi P1, P2,…..,Pn, yang disebut premis (hipotesa / asumsi) dan menghasilkan ( sebagai konsekuensinya ) proposisi lainnya Q, disebut konklusi (kesimpulan). Secara umum argument ini di notasikan oleh:

P1, P2, …… , Pn I---- Q

Nilai kebenaran dari suatu argument di tentukan sebagai berikut :

Suatu argumen P1,P2, ….. , Pn Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar untuk semua premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy). 

Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy). 

a.) argument yang valid

suatu argument dikatakan valid apa bila argument tersebut mempunyai statement yang benar. Dan dapat dikatakan pula jika :

P, q --> q I---- q ( law of detachment )

Contoh :

“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.    Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”

           

 Penyelesaian:

     Misalkan :

          p adalah : proposisi “Air laut surut setelah gempa di laut” dan

         q adalah : proposisi “tsunami datang”.

Maka, argumen di dalam soal dapat ditulis sebagai:

	p ---> q
	p
\	q

Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kevalid tan argumen ini. Keduanya menggunakan tabel kebenaran.

Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p --->  q

Tabel kebenaran untuk p, q, dan p ---> q

P	q	p ----> q
T	T	T ( baris 1 )
T	F	F ( baris 2 )
F	T	T ( baris 3 )
F	F	T ( baris 4 )

 Argumen dikatakan valid jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p ---> qbenar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan benar. Periksa di Tabel 1.15, p dan p ---> q benar secara bersama-sama pada baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen yang berbentuk modus ponen di atas valid.

Cara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah

            [ p ^ (p ---> q) ] ---> p

merupakan tautologi. Tabel 1.16 memperlihatkan bahwa [ p ^ (p ---> q) ] ---> p  suatu tautologi, sehingga argumen dikatakan valid.

Tabel 1.16  [ p ^ (p ---> q) ] ---> p adalah tautology

P	q	p ----> q	p ^ ( p ^ q )	[ p ^ (p  ^ q) ] ^ p ]
T	T	T	T	T
T	F	F	F	T
F	T	T	F	T
F	F	T	F	T

Perhatikanlah bahwa penarikan kesimpulan di dalam argumen ini menggunakan modus ponen. Maka dari itu modus ponen termaksud argumen yang valid.  

b.) argument yang fallacy

suatu argument dikatakan fallacy apabila argument tersebut mempunyai kesesatan atau ketidak benaran. Dan dapat dikatakan pula jika :

p ---> q, q I----- p

 contoh :

“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.    Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut”

tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu. 

Penyelesaian:

Maka argumen di atas berbentuk :

	p ---> q
	q
\	p

Bentuk tabel kebenaran untuk p, q, dan p ---> q

p	q	p --> q
T	T	T ( baris 1 )
T	F	F ( baris 2 )
F	T	T ( baris 3 )
F	F	T ( baris 4 )

Dari Tabel tampak bahwa hipotesis q dan p ---> q benar pada baris ke-3, tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah.

Jadi, argumen tersebut tidak valid atau palsu ( fallacy ), sehingga penalaran menjadi tidak benar.

Contoh 2 :

Periksa kesahihan argumen berikut ini:

	Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima.
	5 tidak lebih kecil dari 4.
\	5 adalah bilangan prima

Penyelesaian:

Misalkan p adalah proposisi “5 lebih kecil dari 4” dan q adalah proposisi “5 adalah bilangan prima”. Maka argumen di atas berbentuk:

	p ---> ~q
	~p
\	q

Tabel kebenaran untuk p --->  ~q, ~p, dan q

P	q	~q	p --> ~q	~p
T	T	F	F	F
T	F	T	T	F
F	T	F	T	T
F	F	T	T	T

memperlihatkan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis dan konklusi tersebut. Baris ke-3 dan ke-4 pada tabel tersebut adalah baris di mana p ---> ~q dan ~ p  benar secara bersama-sama, tetapi pada baris ke-4 konklusi q salah (meskipun  pada baris ke-3 konklusiq benar).  Ini berarti argumen tersebut palsu.

Perhatikanlah bahwa meskipun konklusi dari argumen tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang benar (“5 adalah bilangan prima” adalah benar), tetapi konklusi dari argumen ini tidak sesuai dengan bukti bahwa argumen tersebut palsu.      

IMPLIKASI LOGIKA (LOGICAL IMPLICATION)

-          Misalkan P(p,q,…) dan Q(p,q,…) adalah proposisi. Maka tiga kondisi di bawah ini adalah ekuivalen.

1.      ~P(p,q,…) Ú Q(p,q,…) adalah tautologi.

2.      P(p,q,…) Ù Q(p,q,…) adalah kontradiksi

3.      P(p,q,…) → Q(p,q,…) adalah tautology

-          Suatu proposisi P(p,q,…) disebut implikasi logic ke proposisi Q(p,q,…) dinyatakan dengan :

P(p,q,…) → Q(p,q,…)

Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku.

FUNGSI PROPOSISI DAN HIMPUNAN KEBENARAN

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

Contoh :

1.      Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.

2.      Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

PENGUKUR JUMLAH (QUANTIFIER)

Salah satu cara untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu predikat adalah dengan menggunakan batasan nilai yang disebut pengukur jumlah (Quantifier) dari variabel‐variabelnya. Pengukur jumlah tersebut adalah :

A. Pengukur Jumlah Universal

Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan ∀xA. ∀x disebut pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”.

Untuk pernyataan “Semua kucing punya ekor” dapat kita nyatakan dalam kalkulus predikat sebagai :

∀x (Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))

B. Pengukur Jumlah Eksistensial (∃)

Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk sedikitnya satu nilai x, kita tuliskan ∃x A, yang dibaca “Ada satu x yang memenuhi A”. ∃x disebut pengukur jumlah eksistensial (existential quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut.

Contohnya, jika domain berupa sekumpulan benda, maka ∃xBlue(x) menyatakan bahwa “Ada benda yang berwarna biru”.

Semua pengukur jumlah tersebut diperlakukan seperti operator uner, yang mempunya tingkat presedensi lebih tinggi daripada operator biner. Sebagai contoh, misalkan P(x) mewakili pernyataan “x hidup” dan Q(x) untuk “x mati” maka

∀x (P(x) ∨ Q(x)) diartikan bahwa “semua hidup atau mati” tetapi

∀x P(x) ∨ Q(x) diartikan “semua hidup atau x mati”

Variabel x dalam suatu pengukur jumlah dapat digantikan dengan variabel lain tanpa merubah arti dari seluruh pernyataan yang diwakilinya. Misalkan ∀xP(x) dengan ∀yP(y) adalah hal yang sama; dan secara logika keduanya ekivalen. Pernyataan ∀yP(y) disebut sebagai variant dari ∀xP(x).

Pengukur jumlah (quantifier) mungkin terjadi secara bersarang. Dimana ada suatu pengukur jumlah dalam satu pernyataan yang didalamnya mengandung suatu pengukur jumlah yang lain.

POSET (Partially Ordered Set)

Himpunan Terurut Parsial

Sebelum melanjutkan pembahasan tentang diagram poset,sebaiknya kita tahu dulu tentang apa itu poset (himpunan terurut secara parsial.Dikatakan poset yaitu jika suatu relasi R pada himpunan P urut secara parsial pada P, jika R tersebut bersifat reflexive (mementul),antisymmertic(tolak setangkup),dan transitive (menghantar)

1. Reflexive dengan syarat a R a untuk setiap a є P.

2. Antisymmetric dengan syarat a R b dan b R a maka a = b.

3. Transitive dengan syarat a R b dan b R c maka a R c

Dalam suatu relasi R pengurutan parsial,dua benda saling berhubungan.Jika salah satunya lebih kecil (<) atau lebih besar (>) daripada atau lebih pendek (lebih tinggi) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu.Istilah pengurutan (ordering) berarti bahwa benda-benda didalam himpunan itu diurutkan menurut kriteria atau sifat tersebut.Akan tetepi ada kemungkinan bahwa dua benda dalam himpunan tersebut tidak ada hubungan dalam relasi pengurutan parsial.Dalam hal demikian,kita tidak dapat membedakan keduanya dan tidak dapat mengidentifikasi mana yang lebih kecil atau mana yang lebih rendah. Itulah alasan digunakan istilah “pengurutan parsial (partial ordering)” atau bisa disebut dengan Poset yang dilambangkan dengan (A,R).

Pengurutan parsial yang paling sering digunakan adalah relasi ≤ atau ≥ pada himpunan A dan R.Karena jika kita berbicara secara umum tentang pengurutan parsial R pada himpuna P maka yang akan sering kita lihat atau sering kita gunakan adalah symbol ≥ dan ≤.

DIAGRAM POSET

Pendefinisian tentang diagram poset ini adalah sebuah grafik berarah yang vertex-verteksny adalah elemen-elemen dari S dan terdapat sebuah edge (titik atau bulatan) dari a ke b kapan saja a < b dalam S.Karena menggambarkan panah dari a ke b,kita seringkali menempatkan b lebih tinggi dari a dan menggambarkan sebuah garis di antara mereka.Ini kemudian diartikan bahwa pergerakan maju (ke atas) menyatakan succession (rangkaian).Dalam diagram yang dibuat,ada sebuah path (gris edar) berarah dari sebuah verteks (puncak) ke verteks y jika dan hanya jika x < y.Juga,mungkin tidak ada cycle (putaran) berarah dalam diagram S karena relasi urutannya antisimetris.Perhatikan juga bahwa diagram tidak harus terhubung. Misal (P,≤) adlah sebuah poset.Jika P hingga,maka (P,≤) dapat dinyatakan dalam bentuk diagram hasse yang tiap elemen diwakili oleh sebuah bulatan kecil atau titik.